向量的长度

现在我们已经解释了关于坐标系系统的一些东西，我们接下来可以来看看最常见的一些被用到点和向量上的操作了。在任何3D程序或者渲染器中，这些操作应该都是非常常见的。

单位化一个向量

如同我们前面介绍的那样，在3D空间中，一个向量可以被看成是一个从一个点指向另一个点的箭头。这个向量不仅仅指明了从A指向B的方向，同时还可以被用来计算AB两点之间的距离。值得注意的是，我们的坐标轴通常那几根基向量都是单位向量。

一个单位化过的向量的长度是1，这样的向量被称为单位向量。单位化一个向量是非常简单的。我们用它的每一个分量去除以它的长度就可以了。

在数学里，你可能会发现一个叫做norm的词，它定义了一个函数可以用来指定一个向量的长度。刚才我们讲的这个函数被称为欧几里德范数。

点乘

点乘两个向量在数学中可以表示为A·B，两个向量的点乘会得到一个数。我们在这里讨论的都是实数范围内的向量乘法。点乘是让每个向量的各个部分分别求积后再加起来。

在任何3D程序或者渲染器中，两个向量进行点乘是非常重要的操作，因为点乘最终得到了一个关于cos的式子，我们很多时候都需要这个cos来做一些后续的运算。比如点乘可以用来检测两个向量是否互相垂直，如果互相垂直，那么点乘的结果就是0。当点乘的结果是-1的时候，那么两个向量刚好方向相反。如果点乘的结果是1的时候，则表示，两个向量刚好指向完全相同的方向上。同样点乘还可以用来去表示两个向量间的夹角或者一个向量与某个坐标轴之间的夹角。

叉乘

叉乘同样也是对两个向量进行操作。与点乘不一样的是，相较于点乘的结果是个数字，叉乘的结果是一个向量。并且，得到的这个向量同时垂直于参与进行叉乘的两个向量。叉乘的数学表示为：

C = A x B

得到的C矩阵跟A和B互相正交。如果用A和B定义一个平面的话，C就垂直于A与B所在的平面。叉乘中，乘法的顺序非常重要，A叉乘B和B叉乘A的结果是不一样的。

这也就是说，叉乘是不满足乘法交换律。

其他的运算-加法、减法

加法和减法用在点上意义比较直观。就是挪动点的位置。但向量之间进行加法和减法运算，就不是那么回事了。有些3D的API会区分点、法线、向量的这些运算。因此，确实可以去创建点、法线、向量这三个完全不同的C++的类。比如法线不会像点和向量那样被转换。两个点相减，很明显可以产生一个向量。把一个向量加到另一个向量或者点上，会产生一个点等等这类的区别。但是有的人也认为这么干会增加代码的复杂度。所以在咱们的战火引擎种并没有对他们做明确的区分，但使用者必须知道他们数学意义上的区别。

由于微信公众号每个月只能群发四次，所以下个月开始我们将开始发布鸡翅膀风格的文章，我们同样会提供原文链接。如果大家不想错过每一篇文章，请关注我们的官方网站上的各类书籍文字阅读部分。